Lecciones sobre el amor, las mujeres y la copulación heterosexual. (2) El isomorfismo entre la fidelidad y la multiplicación de los números enteros.
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TEOREMA 1:
Sean los grupos abelianos finitos
C = {todas las combinaciones “sexuales” de soltero y casado} (C de cuernos) y
M = {posibles multiplicaciones de números enteros según su signo}.
Entonces existe un único isomorfismo F entre C y M.
DEMOSTRACIÓN:
Comencemos identificando los elementos de los grupos:
C = {soltero-soltero, soltero-casado, casado-soltero, casado-casado}
M = {+ por +, + por -, - por +, - por -}
La clave para definir el isomorfismo es identificar soltero con + y casado con – (esto no debe tomarse como publicidad subliminal a favor de la soltería).
La aplicación se quedaría así:
Es trivial y por ello dejo como ejercicio el ver que la aplicación esta bien definida y que es un homomorfismo de grupos biyectivo.
DEFINICIÓN:
Si en el grupo M del teorema anterior tomamos la relación de equivalencia
~ = {mismo signo en el resultado de la multiplicación},
el conjunto de 4 elementos M se transformaría en un conjunto con dos clases de equivalencia:
[+] = {+ por +, - por -}
[-] = {+ por -, - por +}.
Llamado Grupo Cociente.
TEOREMA: (Teorema de la correspondencia fiel)
Sean, C y M los grupos del teorema anterior y sea N el grupo cociente de la definición. Entonces existe el grupo cociente G de C y la aplicación F*, que hace isomorfos G y N y hace conmutar el diagrama:
DEMOSTRACIÓN:
Debemos comenzar definiendo G y para ello sus clases de equivalencia. Esto lo haremos usando el isomorfismo F:
Tenemos identificados todos los elementos de C con elementos de M y a su vez dentro de M tenemos las clases de equivalencia que nos dan N. Vamos a definir, entonces, las clases de equivalencia de G según las de N, es decir, los elementos de C que han ido a parar a elementos de M que se quedan dentro de la clase [+] irán a una clase de G y el resto a la otra clase. Esta relación entre las clases de G y N nos define el isomorfismo F*, quedando de la siguiente forma:
De nuevo es obvio que G y F* están bien definidos y que F* es homomorfismo de grupos biyectivo. Es fácil ver que el diagrama conmuta considerando las proyecciones de C a G y de M a N.
COROLARIO:
La relación “sexual” casado-casado no es infidelidad.
DEMOSTRACIÓN:
Es fácil al observar que casado-casado está en la misma clase de equivalencia que soltero-soltero y ésta, obviamente, no es infidelidad, luego casado-casado tampoco lo es.
Por consiguiente, soltero-casado y casado-soltero, son unos cuernos como una copa de un pino y está muy feo hacerlo.
DEFINICIONES:
a) A este último colorario se le conoce comúnmente como “Cuernos con cuernos se anula”.
b) Al conjunto G se le conoce como “Grupo Co(s)ciente de lo que es fidelidad”.
c) Las clases de equivalencia de G se conocen como:
c1) {soltero-soltero, casado-casado} = “Bien”
c2) {soltero-casado, casado-soltero} = “Feo” o “Kaka”.
